Modélos Matemáticos en Visión por Ordenador
Luis Alvarez
Mayo 2009
Transformada de Fourier
Definición
Sea . La transformada de Fourier de se define como:
Igualdades notables
Principio de incertidumbre
Josep Fourier
Joseph Fourier, matemático francés (1768-1830), nacido en Auxerre, hijo de un sastre, huérfano a los 9 años. Estudio bajo el mecenazgo del Obispo de Auxerre. Alumno/Profesor de la Ecole Politechnique, vivió en la época de la revolución francesa, donde participó actívamente, participó en la campaña de Napoleón a Egipto en 1798
Origen de la teoría de Fourier
Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (1807).
Multiplying both sides by , and integrating in :
Comentario editores publicación (Lagrange,Laplace,Legendre) : the manner in which the author arrives at these equations is not exempt of difficulties and [...] his analysis to integrate them still leaves something to be desired on the score of generality and even rigour.
Relación con la ecuación del calor. Si buscamos soluciones de variable separada de la ecuación del calor en :
Transformada de Fourier del seno cardinal
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Transformada de Fourier de una función gaussiana
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La función Gaussiana versus la distribución normal
Abraham de Moivre (1667-1754), matemático francés, vivió la mayor parte de su vida en Inglaterra, su status social no es muy claro, no tuvo un gran reconocimiento en vida, vivió siempre de forma humilde (ganaba dinero jugando al ajedrez) y predijo el día de su muerte. Trabajó en la distribución normal
Johann Carl Friedrich Gauss (1777--1855), "el príncipe de las matemáticas", científico alemán, hijo de una familia humilde, fue un niño prodigio, pudo estudiar gracias al mecenazgo del duque de Braunschweig Era muy perfeccionista, tuvo pocos alumnos (Riemann, Bessel) y no le gustaba enseñar.
Transformada de Fourier de la delta de Dirac
Tomar una muestra de una función en un punto puede interpretarse formalmente como
Transformada de Fourier de un tren de deltas de Dirac
Las distribuciones. Generalización del concepto de función.
Sea el conjunto de funciones con soporte compacto, una distribución es una aplicación lineal
Algunas propiedades de las distribuciones :
Si salvo en un número aislado de discontinuidades en forma de saltos de tamaño entonces
Transformada de Fourier de una distribución
La transformada de Fourier de una distribución se define como
justificación :
Las distribuciones temperadas. El espacio de Schwart
Sea el conjunto de funciones con decrecimiento rápido en el infinito, es deciruna distribución temperada es una aplicación lineal
Propiedad fundamental de
: Si
entonces
Noción de convergencia en el espacio de distribuciones
La teoría de distribuciones
Justificación de la transformada de Fourier de un tren de deltas
La función de periodo se puede desarrollar en serie de Fourier como
La teoría de distribuciones
Laurent Schwartz
Laurent Schwartz (1915-2002), matemático francés, recibió la medalla Fields en 1950, profesor de l'Ecole Politechnique, desarrolló la teoría de las distribuciones sobre los años 40 (de forma independiente Sergei Sobolev desarrolló el mismo tipo de ideas), fue un activista político
Transformada de Fourier
Convolución
Dadas dos funciones y se define su producto de convolución a través de la siguiente expresión
Igualdades notables
Muestreo de señales
Efecto del muestreo sobre la transformada de Fourier
Efecto del muestreo sobre la transformada de Fourier
Recubrimiento del espectro
Efecto del muestreo sobre la transformada de Fourier
Frecuencia de muestreo de Nyquist
Como recuperar una señal a partir de una muestra
Si el soporte de está incluido en entonces
Demostración : Si el soporte de está incluido en tenemos Por tanto
Proceso básico de codificación/decodificación de señales
Paso 1: Se filtra la señal para eliminar las frecuencias altas y evitar el recubrimiento del espectro al muestrear
Paso 2 : Se muestrea la señal y codifica la señal muestreada de forma digital
Paso 3: Se decodifica y reconstruye la señal continua a partir del teorema de Shannon
Aplicación clásica : Codificación de una señal de sonido.
Teoría de la información. Muestreo de Señales
Claude Shannon
Claude Shannon (1916-2001), hijo de un empresario y una profesora, matemático e ingeniero eléctrico estadounidense, se doctoró en el MIT y trabajó 15 años en los laboratorios AT&T Bell. Es el padre de la denominada teoría de la información, de enorme importancia en las telecomunicaciones que establece los fundamentos matemáticos de la transmisión de datos digitales.
Filtrado de las altas frecuencias.
Para eliminar las frecuencias altas de una función
se convoluciona
con la
funciónque
corta las frecuencias que estén fuera de
Lo mismo se aplica en el caso, habitual en la práctica, de tener ya muestrada la función : y queremos submuestrarla a una tasa diferente , en ese caso filtraríamos haciendo
Transformada de Fourier de funciones periódicas
Una función periódica, de periodo se puede expresar como donde es restringida al intervalo Aplicando las fórmulas vistas obtenemoslo que lleva a definir la transformada de Fourier de una función periódica como
Transformada de Fourier en dimensiones superiores
Transformada directa
Transformada inversa
Las ondículas (wavelets, ondelettes)
Diferentes familias de funciones base para representar una función
Transformada de Fourier. base de funciones :
Ondículas. base de funciones :
La ondícula de Goupillaud, Grossmann y Morlet (1984)
Condiciones que debe verificar una ondícula para que la fórmula de reconstrucción sea correcta.
Si verifica entonces
Ejemplos de ondículas
Cálculo numérico con ondículas
Bases de ondículas ortogonales
Para ciertas ondículas "madre" es posible elegir y con de tal manera que el conjunto forma una base ortonormal de Algunos ejemplos notables de ondículas generadoras de este tipo son :
La ondícula de Haar (1.909),
Las ondículas de Ingrid Daubechies
La ondícula de Yves Meyer.
Fundamentación matemática de las ondículas
Yves Meyer.
Yves Meyer, matemático francés (1939), alumno de la Ecole Normale. Vivió en Argelia hasta los 17 años Ha sido uno de los fundadores de la teoría matemática de las ondículas (wavelets) y más recientemente de los cuasicristales. Es miembro de la Academia de Ciencias Francesa y profesor emérito de la ENSC. Tuvo mucho contacto con matemáticos españoles como Miguel de Guzmán.
Extractos entrevista Meyer
http://www.amarun.org
La calidad de la escuela matemática francesa depende de tres cosas: la calidad de la enseñanza, las becas, indispensables porque sino se pierden las oportunidades de reconocer los talentos del país, y la tercera es que los graduados tengan un empleo. Sin estas tres condiciones no se puede crear una escuela matemática. Hacer ciencia es una actividad muy difícil y es necesario a la vez tener una convicción muy fuerte que si no es sostenida por la política no permite ir muy lejos.
Miguel de Guzmán era un matemático muy amigo mío, quien pertenecía a la gran aristocracia española, y cuyo amor, cultura y dedicación a su país han sido lo más sorprendente que he podido ver. Era un espíritu prácticamente universal, era un teólogo, un gran humanista y jugó un papel importante en el desarrollo de la escuela matemática española.
Bibliografía
C. Gasquet and P. Witomski. Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets. Springer, 1998.
Y. Meyer. Ondelettes et operateurs I. Hermann, 1990
C. Shannon. A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal, 27:379-423 and 623-656, 1948.
Problemas
Demostrar que si entonces
Demostrar que si el soporte de está incluido en entonces
Demostrar la siguiente afirmación: si es continua