Modélos Matemáticos en Visión por Ordenador

Luis Alvarez

Mayo 2009

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier

Definición

Sea MATH. La transformada de Fourier de $f$ se define como: MATH

Igualdades notables




Josep Fourier

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Joseph Fourier, matemático francés (1768-1830), nacido en Auxerre, hijo de un sastre, huérfano a los 9 años. Estudio bajo el mecenazgo del Obispo de Auxerre. Alumno/Profesor de la Ecole Politechnique, vivió en la época de la revolución francesa, donde participó actívamente, participó en la campaña de Napoleón a Egipto en 1798

Origen de la teoría de Fourier

Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (1807).

MATH

Multiplying both sides by MATH, and integrating in $[-1,1]$ :

MATH

Comentario editores publicación (Lagrange,Laplace,Legendre) : the manner in which the author arrives at these equations is not exempt of difficulties and [...] his analysis to integrate them still leaves something to be desired on the score of generality and even rigour.

Relación con la ecuación del calor. Si buscamos soluciones de variable separada $u(t,x)=T(t)X(x)$ de la ecuación del calor en $[-1,1]$ : MATH

Transformada de Fourier del seno cardinal

MATH

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MATH
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$\hat{f}(w)=\pi $ en MATH y $0$ fuera

Transformada de Fourier de una función gaussiana

MATH

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$f(x)=e^{-x^{2}}$
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MATH

La función Gaussiana versus la distribución normal

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Abraham de Moivre (1667-1754), matemático francés, vivió la mayor parte de su vida en Inglaterra, su status social no es muy claro, no tuvo un gran reconocimiento en vida, vivió siempre de forma humilde (ganaba dinero jugando al ajedrez) y predijo el día de su muerte. Trabajó en la distribución normal

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Johann Carl Friedrich Gauss (1777--1855), "el príncipe de las matemáticas", científico alemán, hijo de una familia humilde, fue un niño prodigio, pudo estudiar gracias al mecenazgo del duque de Braunschweig Era muy perfeccionista, tuvo pocos alumnos (Riemann, Bessel) y no le gustaba enseñar.

Transformada de Fourier de la delta de Dirac

MATHMATH

Tomar una muestra de una función $f(x)$ en un punto $a$ puede interpretarse formalmente como MATH

Transformada de Fourier de un tren de deltas de Dirac

MATH

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Las distribuciones. Generalización del concepto de función.

Definition

Sea $\QTR{cal}{D}$ el conjunto de funciones $C^{\infty }$ con soporte compacto, una distribución es una aplicación lineal MATH

Algunas propiedades de las distribuciones :

  1. MATH

  2. MATH

  3. MATH

  4. Si MATH salvo en un número aislado de discontinuidades $x_{n}$ en forma de saltos de tamaño $\lambda _{n}$ entonces MATH

Transformada de Fourier de una distribución

Definition

La transformada de Fourier de una distribución $T$ se define como MATH

justificación : MATH

Las distribuciones temperadas. El espacio de Schwart $\QTR{cal}{S}$

Definition

Sea $\QTR{cal}{S}$ el conjunto de funciones $C^{\infty }$ con decrecimiento rápido en el infinito, es decirMATHuna distribución temperada es una aplicación lineal MATH




Propiedad fundamental de $\QTR{cal}{S}$ : Si MATH entonces $\hat{\varphi}\in S$


Noción de convergencia en el espacio de distribuciones MATH

La teoría de distribuciones

Justificación de la transformada de Fourier de un tren de deltas

  1. La función $f(x)=\frac{x}{a}$ de periodo $a$ se puede desarrollar en serie de Fourier comoMATH

  2. MATH

  3. MATH

  4. MATH

La teoría de distribuciones

Laurent Schwartz

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Laurent Schwartz (1915-2002), matemático francés, recibió la medalla Fields en 1950, profesor de l'Ecole Politechnique, desarrolló la teoría de las distribuciones sobre los años 40 (de forma independiente Sergei Sobolev desarrolló el mismo tipo de ideas), fue un activista político

Transformada de Fourier

Convolución

Dadas dos funciones $f$ y $g$ se define su producto de convolución a través de la siguiente expresión MATH

Igualdades notables

Muestreo de señales

Muestreo de señales MATH


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Efecto del muestreo sobre la transformada de Fourier


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Efecto del muestreo sobre la transformada de Fourier

Recubrimiento del espectro


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Efecto del muestreo sobre la transformada de Fourier

Frecuencia de muestreo de Nyquist


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Como recuperar una señal a partir de una muestra

Theorem (Shannon)

Si el soporte de $\hat{f}(w)$ está incluido en $[-1/2a,1/2a]$ entonces MATH

Demostración : Si el soporte de $\hat{f}(w)$ está incluido en $[-1/2a,1/2a]$ tenemos MATHPor tanto MATH

Proceso básico de codificación/decodificación de señales

Teoría de la información. Muestreo de Señales

Claude Shannon

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Claude Shannon (1916-2001), hijo de un empresario y una profesora, matemático e ingeniero eléctrico estadounidense, se doctoró en el MIT y trabajó 15 años en los laboratorios AT&T Bell. Es el padre de la denominada teoría de la información, de enorme importancia en las telecomunicaciones que establece los fundamentos matemáticos de la transmisión de datos digitales.

Filtrado de las altas frecuencias.

Para eliminar las frecuencias altas de una función $f(x)$ se convoluciona $f(x)$ con la funciónMATHque corta las frecuencias que estén fuera de $[-1/2a,1/2a].$

Lo mismo se aplica en el caso, habitual en la práctica, de tener ya muestrada la función : MATH y queremos submuestrarla a una tasa diferente $b$, en ese caso filtraríamos haciendo MATH

Transformada de Fourier de funciones periódicas

Una función periódica, de periodo $a,$ se puede expresar como MATHdonde $f_{[0,a]}(x)$ es $f(x)$ restringida al intervalo $[0,a].$ Aplicando las fórmulas vistas obtenemosMATHlo que lleva a definir la transformada de Fourier de una función periódica como MATH

Transformada de Fourier en dimensiones superiores

Transformada directaMATH




Transformada inversaMATH

Ondículas (wavelets - ondelettes)

Las ondículas (wavelets, ondelettes)

Diferentes familias de funciones base para representar una función

Transformada de Fourier. base de funciones : MATH

MATH

Ondículas. base de funciones : MATH

MATH

La ondícula de Goupillaud, Grossmann y Morlet (1984)

MATH

MATH

Condiciones que debe verificar una ondícula para que la fórmula de reconstrucción sea correcta.

Si $\psi (x)$ verifica MATHMATH entonces




MATH

Ejemplos de ondículas

MATH

Cálculo numérico con ondículas

Bases de ondículas ortogonales

Para ciertas ondículas "madre" $\psi (x)$ es posible elegir $a_{m}=2^{-m}$ y $b_{n}=n2^{-m},$ con MATH de tal manera que el conjunto MATHforma una base ortonormal de MATH Algunos ejemplos notables de ondículas generadoras de este tipo son :

Fundamentación matemática de las ondículas

Yves Meyer.

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Yves Meyer, matemático francés (1939), alumno de la Ecole Normale. Vivió en Argelia hasta los 17 años Ha sido uno de los fundadores de la teoría matemática de las ondículas (wavelets) y más recientemente de los cuasicristales. Es miembro de la Academia de Ciencias Francesa y profesor emérito de la ENSC. Tuvo mucho contacto con matemáticos españoles como Miguel de Guzmán.

Extractos entrevista Meyer

http://www.amarun.org

La calidad de la escuela matemática francesa depende de tres cosas: la calidad de la enseñanza, las becas, indispensables porque sino se pierden las oportunidades de reconocer los talentos del país, y la tercera es que los graduados tengan un empleo. Sin estas tres condiciones no se puede crear una escuela matemática. Hacer ciencia es una actividad muy difícil y es necesario a la vez tener una convicción muy fuerte que si no es sostenida por la política no permite ir muy lejos.




Miguel de Guzmán era un matemático muy amigo mío, quien pertenecía a la gran aristocracia española, y cuyo amor, cultura y dedicación a su país han sido lo más sorprendente que he podido ver. Era un espíritu prácticamente universal, era un teólogo, un gran humanista y jugó un papel importante en el desarrollo de la escuela matemática española.




Bibliografía y problemas seleccionados

Bibliografía

  1. C. Gasquet and P. Witomski. Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets. Springer, 1998.

  2. Y. Meyer. Ondelettes et operateurs I. Hermann, 1990

  3. C. Shannon. A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal, 27:379-423 and 623-656, 1948.

Problemas

  1. Demostrar que si MATH entoncesMATH

  2. Demostrar que si el soporte de $\hat{f}(w)$ está incluido en $[-1/2a,1/2a]$ entonces MATH

  3. Demostrar la siguiente afirmación: si $\hat{\psi}(w)$ es continua MATH